exercice

[Danica]

Bonjour, voilà, dans le cours IV de Staccini, il y a un exercice où j'ai un peu de mal: il se trouve à la fin du poly, "approximation3/5" désolée je ne sais pas comment le mettre en pièce jointe. C'est l'exercice concernant la SNCF, je ne comprends pas comment on passe de P(X>4700) à P((4700-4750)/(15.41)) et je ne comprends pas nan plus comment on fait pour le lire sur le tableau de la loi centrée réduite..

Merci d'avance!

[juju_06]

Pas de souci pour la pièce jointe ^^. En ce qui concerne les approximations par la loi centrée réduite .

1) La notion de variable centrée réduite :
Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et d'écart type σ.
On nomme variable centrée réduite, la variable Z définie par :
- Z = (X-μ)/σ
- μ = 0
- σ² = 1

La variable centrée réduite Y peut être vue comme une sorte de fonction f(X) = (X-μ)/σ.

Exemple :
Soit X une variable aléatoire de moyenne μ = 3 et d'écart type σ = 2.
On nomme variable centrée réduite, la variable Z définie par :
- Z = (X-μ)/σ = (X-3)/2
- μ = 0
- σ² = 1

2) La loi normale centrée réduite :
Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et d'écart type σ. Si elle suit une loi normale de probabilités, alors, la variable centrée réduite Z définie par Z = (X-μ)/σ, suit une loi normale centrée réduite.

Le fait de pouvoir passer d'une loi normale à une loi normale centrée réduite permet ici de simplifier au maximum les calculs de probabilités. En effet, on n'a plus besoin d'utiliser de formules, on a juste à regarder le tableau de la loi centrée réduite. Comment lire ce tableau :
- les nombres dans le tableau sont les probabilités
- en ordonnée (1ère colonne) on retrouve l'unité et la première décimale de valeur de la variable
- en abcisse (1ère ligne) on retrouve la deuxième décimale de la valeur de la variable

Par exemple, si on cherche P(Z ≤ 1,25 )
On décompose, 1,25 = 1,2 + 0,05 :
- Dans la première colonne, on rejoint la ligne "1,2"
- Dans la première ligne, on rejoint la colonne "0,05"
- ensuite, on croise : l'intersection te donne la probabilité P(Z ≤ 1,25 ) = 0,8944

On va reprendre l'exemple du prof pour que ce soit plus clair :
La SNCF d'IDF dans son projet de reconquête des voyageurs affirment que 95% des trains arriveront à l'heure sur l'ensemble du réseau (1300 k= et 5000 trains par jour) . Supposons qu'en conditions normales, l'affirmation sur ce projet ambitieux soit vraie. Un francilien, entre son domicile et son lieu de travail, emprunte 3 de ces trains. En supposant que sur les lignes qu'il emprunte la variable "nombre de trains arrivant à l'heure" suive une loi binomiale avec n = 5000 et p = 0,95. Calculer la probabilité pour qu'au moins 4700 trains, parmi les 5000 circulant quotidiennement, arrivent à l'heure soit P (X ≥ 4700) .

a) approximation de la loi binomiale par la loi normale :

une loi binomiale B (n,p) peut être approximer par une loi normale N (np = μ , √'(npq)= σ )
Ici, il vient donc : B (5000 ; 0,95) --> N (4750 = μ ; 15,41 = σ )

b) approximation de la loi normale par la loi normale centrée réduite :

Soit X la variable aléatoire de moyenne μ = 4750 et d'écart type σ = 15,41 suivant une loi normale.
On nomme variable centrée réduite, la variable Z définie par :
- Z = (X-μ)/σ = (X-4750)/15,41
Z suit une loi normale centrée réduite.

on cherche P (X ≥ 4700)

On travaille comme sur une inégalité classique pour faire le changement de variable :
X ≥ 4700
X - 4750 ≥ 4700 - 4750
(X-4750)/15,41 ≥ (4700 - 4750 ) / 15,41
(X-4750)/15,41 = Z ≥ - 3,31

Donc chercher P ( X ≥ 4700 ) selon la loi normale équivaut à chercher P ( Z ≥ - 3,31) ce qui équivaut encore à chercher P ( Z ≤ 3,31) selon la loi normale centrée réduite

c) recherche du résultat dans le tableau de la loi normale centrée réduite :
On décompose, 3,31 = 3,3 + 0,01 :
- Dans la première colonne, on rejoint la ligne "3,3"
- Dans la première ligne, on rejoint la colonne "0,01"
- ensuite, on croise : l'intersection te donne la probabilité P(Z ≤ 3,31 ) = 0,99952

Voilà, j'espère que c'est un peu plus clair (c'est assez dur à expliquer sur un forum à l'écrit ... ) . Si jamais tu as d'autres questions ou que certains points restent obscurs, surtout n'hésite pas à nous réinterroger et au pire, viens nous voir à la rentrée , on pourra t'expliquer ça de vive voix, ce sera mieux .

[Danica]

Franchement, je n'ai qu'une chose à dire: ton explication est SUPER!! Merci bcp! ça me débloque pas mal de trucs!

[Jeanne.r]

Salut, moi aussi j'ai un petit pb avec cette partie du cours dans "Approximations 1/5" je ne comprend pas trop l'exercice et comment on trouve 0,5405 avec l'approximation de Poisson . Merci si quelqu'un a une explication [Edit]: Et aussi pour l'exo corrigé ci-dessus je trouve 4700-4750 / 15.41 =-3,24 et pas -3,31 :s et comme on trouve une chiffre negatif quand on trouve 0,99952 il faudrait pas faire 1-0,99952?

[Jeanne.r]

je remonte le sujet

[Vincent B]

Salut,

Salut, moi aussi j'ai un petit pb avec cette partie du cours dans "Approximations 1/5" je ne comprend pas trop l'exercice et comment on trouve 0,5405 avec l'approximation de Poisson .

pour l'exo corrigé ci-dessus je trouve 4700-4750 / 15.41 =-3,24 et pas -3,31 :s et comme on trouve une chiffre negatif quand on trouve 0,99952 il faudrait pas faire 1-0,99952?

Oui effectivement 4700-4750 / 15.41 =-3,24.

Mais cela ne change pas le raisonnement à tenir. A savoir:

Chercher P ( X ≥ 4700 ) selon la loi normale équivaut à chercher P ( Z ≥ - 3,24) ce qui équivaut encore à chercher P ( Z ≤ 3,24) selon la loi normale centrée réduite

c) recherche du résultat dans le tableau de la loi normale centrée réduite :
On décompose, 3,24 = 3,2 + 0,04 :
- Dans la première colonne, on rejoint la ligne "3,2"
- Dans la première ligne, on rejoint la colonne "0,04"
- ensuite, on croise : l'intersection te donne la probabilité P(Z ≤ 3,24 ) = 0,9994

Donc la probabilité pour qu'au moins 4700 trains arrivent à l'heure P( X ≥ 4700) est de 0,9994.

Est-ce suffisamment clair ?

[Jeanne.r]

Merci Vincent c'est parfait !