permutation

[Mériiiem]

slt , je n arrive pas a differencier la permutation de l arrangement ds les qcm? y a t il des mots clés pr chacun d 'entre eux ??

[juju_06]

Salut !

Malheureusement, je ne dispose pas du temps suffisant pour rédiger une belle réponse bien claire ce soir. Mais ta question a été prise en compte et je fais ça demain matin sans faute !

[juju_06]

Salut !

Effectivement, pour distinguer une permutation d'un arrangement, il y a quelques mots clés à retenir et surtout quelques exemples type à retenir.

1) Les Arrangements :

Dans les arrangements, on distingue :
- les arrangements de n éléments pris p à p
- les arrangements avec répétition

1) a) Les arrangements de n éléments pris p à p
Je vais essayer de t'expliquer cela à partir d'exemples, je trouve ça plus didactique.

On dispose de 3 cartes : As, Roi , Dame. On tire SUCCESSIVEMENT ( ≠ simultanément !) 2 cartes sans remise. Le nombre d’arrangements possibles (cad le nombre de couples de cartes possibles en tenant compte de l’ordre de tirage) est égal à

A(2,3) = 3!/(3-2)!=3 ×2 ×1/ 2x1 = 6
soit (As,Roi) (As,Dame) (Roi, As) (Dame, As) (Dame, Roi) (Roi, Dame) !

Tu as donc fait un arrangement de 3 éléments pris à pris 2 à 2. Les mots clés sont :
1) tirage ordonné : étant donné que tu tire les cartes successivement, l'ordre dans lesquelles tu les tire est important, autrement dit (as,roi) ≠ (roi,dame)

2) tirage sans remise : tu ne remets pas les cartes dans le paquets après les avoir tirées, autrement dit, tu ne peux pas avoir un tirage du type (roi,roi)

3) tu ne tires pas toutes les cartes qui sont à ta disposition, mais p (ici 2) parmi les n (ici 3) présentées.


1) b) Les arrangements avec répétition :

Combien de noms (même improbables) à 3 lettres peut-on écrire avec l’ensemble de l’alphabet (26 lettres) ?

Réponse : 26³ (ex : ACH, CHA, CJK, VBN, ...)

Ici, le prof ne précise pas explicitement les mots clés, mais tu peux les déduire directement de l'énoncé. Il s'agit d'un :
1) tirage ordonné : le mot CHA est différent du mot HCA ou CAH. Ainsi, l'ordre dans lequel tu tire les lettres est important.

2) tirage avec remise : Pour chacune des 3 lettres, tu peux tirer n'importe quelle lettre de l'alphabet. C'est un peu comme si tu avais un grand sac avec 26 lettres dedans, tu pioches une première lettre : A, tu la remets dans le paquet et HOP tu retombes sur la lettre A au 2ème tirage etc. Ainsi, tu pourrais très bien obtenir les mots AAR, BBE, CCC ...

3) tu ne tires pas toutes les lettres qui sont à ta disposition, mais [u]p (ici 3) parmi les n (ici 26) présentées.


1) Les permutations :

Parmi les permutations, on distingue :
- Les permutations d'un ensemble fini à n éléments
- Les permutations avec répétition


1) a) Les permutations d'un ensemble fini à n éléments

On dispose de 4 cartes : As, Roi, Dame et Valet de cœur. On les tire SUCCESSIVEMENT une à une sans les remettre jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus.

Le nombre de suite de cartes (= permutations) possibles est donc : P4 =4!=4x3x2x1=24permutations.(R,D,V,As)(D,R,V,As)(V,As,R,D)... soit n!

Les mots sont les suivants. Il s'agit d'un :
1) tirage ordonné : étant donné que tu tire les cartes successivement, l'ordre dans lesquelles tu les tire est important, autrement dit (R,D,V,As) ≠ (D,R,As,V)...

2) tirage sans remise : tu ne remets pas les cartes dans le paquets après les avoir tirées, autrement dit, tu ne peux pas avoir un tirage du type (R,R,R,R)

3) tu tires TOUTES les cartes qui sont à ta disposition,. C'est là la principale différence avec l'arrangement où tu ne tirais que p cartes parmi les n proposées. Là, tu vas jusqu'au bout du tirage.

Ainsi, une permutation de n éléments d'un ensemble fini est un cas particulier d'Arrangement de n éléments pris p à p. Dans ce cas Pn = A (n,p) où n = p.



1) b) Les permutations avec répétition :

9 chevaux sont au départ d’une course hippique : 2 chevaux bleus (B1 et B2), 3 Rouges (R1, R2 et R3) et 4 Jaunes (J1, J2, J3 et J4). Le nombre de classements possibles à l’arrivée en ne tenant compte que des catégories est :
n! / (k1! x k2! x k3!) = 9!/(4! x 3! x 2!)

l’ordre au sein d’une même catégorie n’est pas important : (R1, B2, J3, J4, R3, B1, J2, R2, J1) = (R2, B1, J4, J1, R1, B2, J3, R3, J2) par exemple. En effet, tu cherches à connaître le classement en fonction des couleurs mais tu te fiches de savoir si le gagnant est le cheval 1 de l'équipe bleue ou le cheval 2.
n = Nombre total de chevaux au départ de la course.
k1 = nombre de chevaux bleus
k2 = nombre de chevaux Rouge
k3 = nombre de chevaux Jaunes.

Ainsi tu te retrouve avec un :

1) tirage PARTIELLEMENT ordonné : étant donné que tu classes les chevaux, l'ordre d'arrivée des équipes est important (J,J,R) ≠ (J,R,J)...

En revanche, l'ordre au sein d'une même équipe n'est pas important : (J1,J2,R) = (J2,J1,R)

2) tirage sans remise : tu ne remets pas les chevaux en course après l'arrivée

3) tu classes TOUS les chevaux en course,. C'est là la principale différence avec l'arrangement où tu ne tirais que p cartes parmi les n proposées. Là, tu vas jusqu'au bout du tirage.

Voilà ! en espérant t'avoir éclairé un peu plus. Les exemples sont tirés de la fiche de la tut rentrée , je t'y renvoie donc . Si tu as d'autres questions ou besoin de précision n'hésite pas à redemander.

Bon courage !