Cours Staccini n°1

[Half]

Bonsoir ,

Suite à ce cours j'ai des petites questions :

-Prenons un évènement : obtenir au moins 1 pile au bout de 10 lancés d'un pièce non biaisée.

Est-ce que la probabilité de cet évènement sera la même que celle "obtenir pile avec un seul lancé" ? Comment calculer la probabilité du premier évènement ?

Voila mon soucis : Je suis parti du fait qu'on a 1/2 chances d'obtenir pile sur un lancé, au second également, etc. Mais par exemple il semble logique qu'en lançant 4 fois la pièce (nombre pris au hasard) on a plus de chance d'obtenir pile. Mais comment traduire ça de façon mathématique ?

-Seconde question : Suite à un sondage on remarque que les 3 options les plus vendues sur des voitures neuves sont :

A: Boite de vitesse automatique B : Transmission assistée C : Radio/CD

On observe que les acheteurs ont choisi :

Option A 75%
Option B 70%
Option C 80%
Option AUB 75%

Déjà, comment-est ce possible d'avoir de tels % ? Le total ne devrait pas faire 100% ? Ensuite dans ce cas est-ce que AUB correspond à A inter B ?

Merci d'avance !

[Vincent B]

-Prenons un évènement : obtenir au moins 1 pile au bout de 10 lancés d'un pièce non biaisée.

Est-ce que la probabilité de cet évènement sera la même que celle "obtenir pile avec un seul lancé" ?

Non, effectivement si tu lances la pièces plusieurs fois (dix fois), intuitivement tu sens bien que tu auras plus de chance d'obtenir au moins une fois pile que si tu la lances une fois seulement.

Comment calculer la probabilité du premier évènement ?

Le fait de lancer la pièce une fois, c’est la réalisation d’UNE SEULE EXPERIENCE aléatoire ( = épreuve) dont la probabilité de réussite est « p = 1/2 ». LOI DE BERNOUILLI.

Maintenant, le fait de lancer la pièce 10 fois constitue une épreuve qui suit la loi BINOMIALE.

Expliquons la loi Binomiale avec l'exemple que tu as prix (celui des 10 lancer de pièce)

LOI BINOMIALE

Il s’agit de plusieurs expériences aléatoires de BERNOULLI répétées successivement et indépendamment dont le résultat ne peut être que « succès » ou « échec ».
On cherche à connaitre la probabilité d’obtenir exactement un certain nombre de succès parmi ces expériences.

Loi BINOMIALE :

P (x = k ) = C_N^k p^k q^N-k =

Nota: k équivaut au nombre de succès parmi N épreuves successives et indépendantes

Application : Je lance une pièce 10 fois.

Je cherche à connaitre la probabilité d’obtenir 1 succès, soit 1 « pile » exactement lors de ces 10 lancers.

Soit la probabilité d’un succès : p = 1/2,
Soit la probabilité d’un échec : q = 1/2
Nombre de lancers : N = 10
Nombre de succès souhaités : x = k = 1 (x = k équivaut à k succès parmi N lancers)

Probabilité d’avoir le nombre de succès souhaités = p^k q^N-k
En effet, probabilité d’avoir 1 succès = p¹ q^10-1 = p¹ q⁹ = 1/2 x (1/2)⁹

Cependant, l’ordre des « succès » n’est pas important ! Donc je peux avoir plusieurs Combinaisons de succès lors de cette expérience :

Combinaison 1 :1ER lancer = succès, 2ème lancer = échec, 3ème lancer = échec, 4ème lancer = échec, .... , 10ème lancer = échec
Combinaison 2: 1ER lancer = échec, 2ème lancer = succès, 3ème lancer = échec, 4ème lancer = échec, .... , 10ème lancer = échec
Combinaison 3: 1ER lancer = échec, 2ème lancer = échec, 3ème lancer = succés, 4ème lancer = échec, .... , 10ème lancer = échec
Combinaison 4: 1ER lancer = échec, 2ème lancer = échec, 3ème lancer = échec, 4ème lancer = succès, .... , 10ème lancer = échec
Etc...

En tout 10 Combinaisons ! C_N^k = C₁₀¹ = combinaisons

La probabilité d'obtenir 1 fois pile est donc de :

p( 1 fois "pile") = 10 x p¹ q^10-1 = 10 x p¹ q⁹ = 10 x 1/2 x (1/2)⁹ = environ 1/100 .

Nous venons de voir quel était la probabilité d'avoir exactement 1 fois pile à l'issue des 10 lancers.

Je cherche à connaitre la probabilité d’obtenir AU MOINS 1 fois « pile » à l'issue de ces 10 lancers.

Autrement dit je cherche la probabilité d'obtenir EXACTEMENT 1 FOIS "PILE" + EXACTEMENT 2 FOIS "PILE" + EXACTEMENT 3 FOIS "PILE"+ ... + EXACTEMENT 10 FOIS "PILE" !

P (au moins 1 fois pile) = P( 1 fois "pile" = environ 1/100 ) + P( 2 fois "pile" ) + P( 3 fois "pile" ) + ... + P( 10 fois "pile").

-Seconde question : Suite à un sondage on remarque que les 3 options les plus vendues sur des voitures neuves sont :

A: Boite de vitesse automatique B : Transmission assistée C : Radio/CD

On observe que les acheteurs ont choisi :

Option A 75%
Option B 70%
Option C 80%
Option AUB 75% (80% dans le cours)

Déjà, comment-est ce possible d'avoir de tels % ? Le total ne devrait pas faire 100% ?

Non, lorsqu'il est dit que 75% des acheteurs ont choisi l'option A, cela ne signifie pas qu'il ont choisi exclusivement l'option A.
Ils peuvent tout aussi bien avoir choisi l'option B avec, l'option C, voire les options B et C (voir la FICHE BIOSTAT: n°3 p7).

D'où A U B = 80 % et A inter B = A + B - A U B = 70% + 75% - 80% = 65%

Autre exemple : les acheteurs auraient pu choisir :

Option A 100%
Option B 100%
Option C 100%

Ca signifierait que tous les acheteurs ont choisi les 3 options à chaque fois:

Dans ce cas particulier:
AUB = 100%
AUC = 100%
CUB = 100%
CUBUA = 100%

Et A U B = A + B - A inter B d'où A inter B = A + B - A U B = 100 + 100 - 100 = 100

Ensuite dans ce cas est-ce que AUB correspond à A inter B ?

Non comme vu précédemment

Si besoin, n'hésite pas!

[Half]

Wha merci pour cette superbe réponse !

Tu as réussi à répondre à toutes mes questions et j'ai tout bien compris merci !!

Dernière question, pour le "Au moins 1 fois pile", peut-on simplifier ton calcul (P= P(exactement 1) + P(exactement 2)+...+ P(exactement 10)) par P(x>=1)= 1-P(x=0) ?

Ensuite il faut juste calculer le p(0 pile) de la même façon que tu l'as fait pour P(1 pile) : "0 parmi 10" * "p^k" * "p^(N-k)"

Mais, dans ce cas c'est possible de faire 0 parmi 10 ? Car ça ferait : 10! / 0!(10-0)! et ça ça fait 0 non ?

Si oui, notre P(1 pile) ferait également 0, or y'a des chances pour faire 0 piles non ? Où est mon erreur ?

[Vincent B]

Salut!

Dernière question, pour le "Au moins 1 fois pile", peut-on simplifier ton calcul (P= P(exactement 1) + P(exactement 2)+...+ P(exactement 10)) par P(x>=1)= 1-P(x=0) ?

Si tu commences à dévoiler toutes les subtilités des lois de probabilité, Julia et moi nous ne saurons plus quels Qcms vous proposer les prochains tutorats/ DM

Sinon ton raisonnement est tout à fait juste.

Ensuite il faut juste calculer le p(0 pile) de la même façon que tu l'as fait pour P(1 pile) : "0 parmi 10" * "p^k" * "p^(N-k)"

Oui

Mais, dans ce cas c'est possible de faire 0 parmi 10 ? Car ça ferait : 10! / 0!(10-0)! et ça ça fait 0 non ?

Non. En fait 0! = 1, d'où : 10! / 0!(10-0)! = 10! / 10! = 1 (d'ailleurs tu vois bien qu' avoir 10 "face" ( ou 0 "pile") est un événement élémentaire, il n'y a qu'une seule façon de l'obtenir)

J'espère avoir répondu à toutes tes interrogations. Sinon fais le moi savoir!

[Half]

Super, merci !