Loi Binomiale (et ses potes)

[Oskour]

Bonjour bonjour !
Je me suis plongé dans l'annatut 2018-2019 du chapitre 4 Lois de probabilités. Tout allait bien jusqu'à ce QRU (oui oui le dès le premier ça promet ) :

QRU 1 : Dans une population de 1000 personnes, 200 ont une malformation au pied. On en prend 100 successivement et on note s’ils ont la malformation ou pas.
On note la variable X « avoir une malformation au pied » Donnez la vraie :
A) X suit la loi hypergéométrique H (1000, 100, 200)
B) X ne suit pas une loi binomiale parce que les essais ne sont pas indépendants
C) On utilise la loi binomiale B (100 ; 0,2)
D) P(X=2) = 0,22 x 0,898
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses.


La correction indique la réponse C, jusqu'ici ok. Mais dans le détail de l'item B je bloque :

B) Faux : on peut utiliser la loi binomiale quand les essais ne sont pas indépendants.


Dans le cours on insiste bien sur la nécessité d'avoir des essais/tirages indépendants pour pouvoir utiliser la loi Binomiale non ? Et donc d'avoir un tirage avec remise ou du moins spécifié comme approchant. Dans ce QRU on nous dit que c'est sans remise donc non-indépendant ! A moins que l'échantillon soit suffisamment grand pour supposer que l'indépendance est conservée malgré le tirage sans remise ?

De plus, on se trouve à la limite du taux de sondage n/N = 0.10. Donc en soi l'item A n'est pas faux non plus si ? Que faire dans ce cas limite où le taux de sondage vaut 0.10 ? Loi Binomiale ou Hypergéométrique ?


Voilà beaucoup de questions pour un seul QRU
Désolé du dérangement, merci d'avance et bonne semaine

[Fred']

Salut salut !
Alors d'abord rappel de cours puis petite explication, et ensuite on reprend les items un a un !

Comme tu l'as bien notifié, "La loi Binomiale consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli
indépendantes". Donc en théorie le tirage doit être non exhaustif, donc avec remise, jusque là on est d'accord.
SAUF QUE (tu avais trouvé la solution seul déjà), quand le taux de sondage est suffisamment faible (n/N≤0,10), on peut quand même en pratique utiliser la loi Binomiale, et négliger les variations dues au "sans remise". C'est à ça que sert le taux de sondage !!
Un passage d'une vieille diapo du prof expliquait ça bien, je te le mets ici :

Dans cette même diapo, il nous dit que si n/N≤0,10 on utilise la Binomiale, et SINON la loi Hypergéométrique. Cette version est un peu différente de celle de ma fiche et de sa diapo de l'année dernière (où on disait : si n/N≤0,10 on utilise la Binomiale, et si n/N≥0,10 on utilise la loi Hypergéométrique). Donc en théorie, si n/N=0,10 je pense que tu peux utiliser les 2, mais ça n'a pas grand intérêt !!! Il vaut mieux privilégier la loi Binomiale qui est beaucoup plus simple.
(Pour cette partie qui reste malgré tout un peu floue j'attends de voir la version qu'il vous donnera cette année, et si besoin la question lui sera posée )

Du coup récap des items A et B :
A) doublement faux, pck comme on l'a dit on privilégie la Binomiale, et en +, la loi Hypergéométrique est notée H(N,D,n) = H(1000, 200, 100) et pas H(1000, 100, 200)
B) comme on l'a vu, on peut négliger l'indépendance des tirages lorsque le taux de sondage est faible donc Faux


Voilà, j'espère que tout ça est plus clair !
Toute la biostat est derrière toi, ne lâche rien !

PS: ya pas de dérangement, on est là pour ça

[Oskour]

Recoucou

Super merci beaucoup beaucoup C'est super clair !
Merci encore et à bientôt !

PS : J'adore ta photo de profil