Ondes - description mathématique

[Aleeex]

Saluut !

Aloors, me voilà avec le poly des ondes sous les yeux ( ), que j'ai enfin eu le courage d'ouvrir (même si ca pique les yeux), mais si y'a toujours 2 diapos qui sont en biélorusse-tchéckoslovaque je crois...

Diapo nouméro ouno !

Diapo nouméro dos !

Un énorme merci a la personne qui saura traduire le biélorusse-tchéckoslovaque en francais de france !

[Jipé]

Bonjour !

Houlà ! Tu attaques fort ! Je me replonge là-dedans et j'essaie de te donner une réponse dans les jours qui viennent, j'avoue que je ne me suis pa replongé dans ce cours qui est à mes yeux le pire de toute la physique...

Donc à bientôt et bonne journée !

[Aleeex]

Ouaiis j'suis désolé, j'savais que ca plairait pas ces diapos... Mais a la limites, si dans les formules dégueulasses y'a des truc pas a savoir t'embetes pas hein x) ! Juste ce qui tombe suffira hahaa :p ! Merci !

[Jipé]

Bonjour !

Tu croyais bien que je n'allais pas laisser une questions sans réponse correcte !
Donc je commence par essayer de t'expliquer avec des mots, et si ça ne suffit pas je te joindrai des schémas explicatifs

Diapo 1 : On se place dans le cas d'une onde à 1 dimension, par exemple la déformation d'une corde.

La première chose à comprendre c'est qu'on va créer une onde avec une source. Cette source est soumise à une perturbation à partir de l'instant .
On définit cette perturbation en fonction du temps par la fonction : c'est le graphique en haut de la diapo.
Ca c'est bien gentil, mais ça ne nous donne que la perturbation de la source. Maintenant il va falloir trouver comment elle va se propager. On va donc avoit une fonction de deux variables : le temps puisque la propagation d'une onde se fait en fonction du temps, mais aussi la position x du pointsur la corde
On décrit donc l'onde avec la fonction . Pourquoi une telle fonction ? Parce qu'en fait, l'onde va arriver avec un certain retard au point d'abscisse x... Comme l'onde se déplace avec une célérité v, le retard engendré vaut ! (Ici on se déplace dans le sens des x croissants, si on se déplaçait dans le sens des x croissants, au contraire l'onde arriverait avec une "avance" valant aussi , ce qui donne la fonction )

Toutefois, il est difficile de représenter correctement une fonction à deux variables... Donc on va se débrouiller pour obtenir des graphiques avec une seule variable !

Pour ça on va fixer par exemple x qui va valoir ; c'est le graphique en bas à droite montant . Il représente la déformation qui arrive au point d'abscisse . On voit bien que la déformation est la même qu'au point de départ, simplement elle ne touche ce point qu'avec un retard . Attention, le retard se mesure depuis le point le plus à gauche de la déformation...

Fixons maintenant t qui vaut alors ; c'est le graphique en bas à droite montant . Il représente une "photo" de la corde à l'instant . C'est pour cela que la déformation est inversée par rapport aux autres graphiques...
Je m'explique : la déformation est constitué d'une grande ontée, puis d'une grande descente et à la fin une descente plus douce. L'onde se propage ; à l'instant , les points touchés par l'onde ayant l'abscissse la plus grande sont concernés par la grande montée puisqu'ils sont touchés par le "début" de l'onde ! Au contraire ceux qui ont une abscisse plus faible sont touchés par la "fin" de l'onde et donc la descente douce... Ce qui fait que morsqu'on va dans le sens des x croissants, on retrouve cette fois une montée douce, une grande montée et une grande descente !
Maintenant que signifie la translation indiquée sur le graphique ? Simplemetn l'abscisse du point qui est le premier touhé par l'onde à cet instant ! Et la valeur de son abscisse est , càd la distance parcourue par le front d'onde à l'instant

Je sais c'est pas très clair, mais c'est difficile à comprendre, et encore plus à expliquer

Je te fais la diapo 2 une prochaine fois, donc "la suite au prochain épisode"

Bonne journée !

[Aleeex]

Alooors la, c'est tout simplement exquis, parfait, génial ! Mercii !! Je pense que ca vaut largement un petit : " LA PHYSIQUE, C'EST FANTASTIQUE ! " (les biostatisticiens envahissent le forum... )

[Aleeex]

Juste un piti UP, pour t'embêter Jipé !

[Kardajian]

Salut !

Je viens incrusté un peu

Je suis en état d'admiration absolue !
Elle est magnifique ton explication Jipé !
J'aimerai juste une petite confirmation, l'avance qui vaut x/v c'est bien dans le cas ou l'on prends x dans le sens décroissant ?

Vivement la suite des explications !

Et comme l a déjà dit Aleeeex, ça vaut largement un : LA PHYSIQUE C'EST MAGIQUE !

Bonne soirée !

[Jipé]

Bonjour !

Non ce n'est pas encore la suite
Juste pour dire que je n'oublie pas ce post
@Kardajian : Oui, l'"avance" c'est bien dans le cas où l'onde se déplace dans le sens des x décroissants

Bonne journée et merci pour votre soutien à la meilleure des matières (qui se voit améliorée cette année par la divine photométrie)

[Kardajian]

J'y ai trop cru à la suite

Merci pour la confirmation Jipe !

Je me demande ce que ça va donner la photométrie

Bonne journée

[Jipé]

Avouez, vous n'y croyiez plus... MAIS SI !!!!!!! The continuation

Cette diapo est moins complexe à expliquer que l'autre... En fait elle se base surtout sur une notion totalement inconnue pour nous : la dérivée partielle !

Cékwassa ? Eh bien souvenez-vous, on avait dans la diapo précédente dit qu'une onde se décrivait selon une fonction à deux variables . Si on veut dériver cette fonction (pour le fun ), les ennuis commencent ! Car là deux paramètres vont bouger, et on ne sait plus faire...
Donc on a une astuce : on va FIXER un des paramètres pour pouvoir calculer la dérivée de la fonction qui n'aura plus qu'un seul paramètre variant : c'est la dérivée partielle !

Maintenant qu'on a compris le principe, allons-y pour la pratique !
Commençons par la dérivée partielle de par rapport à :
On fixe . Du coup on a . D'où que l'on peut aussi noter

Rappels :
la dérivée de est
la dérivée de est . En particulier si ,

Et après, c'est le même principe pour tous les autres calculs !

La dérivée partielle de par rapport à :
On fixe . Du coup on a . D'où que l'on peut aussi noter

La DOUBLE dérivée partielle de par rapport à :
C'est à peu près le même principe, sauf qu'au lieu de prendre on prend , et du coup on trouve càd .

La DOUBLE dérivée de par rapport à :
On trouve de la même manière càd . (En effet, quel que soit le signe devant , on aura un résultat positif puisqu'on multiplie ce nombre par lui-même ).

Si on compare les résultats obtenus, on voit que . Cette équation est remarquable et caractéristique des ondes : c'est l'équation aux dérivées partielles de d'Alembert.

Cette équation vous dit quelque chose, vous êtes certain de l'avoir déjà vue quelque part ? C'est normal car elle est le point de départ de l'équation de Schrödinger ! Mis n'essayez pas de retrouver Schrödinger avec cettte équation, vous allez vous casser les dents car elle est déjà un peu modifiée dans le cours de quantique (croyez-moi c'est du vécu )

En fait, cette équation est tellement intéressante (elle n'en a pas l'air pourtant ) que maintenant, à chaque fois qu'on tombera sur un résultat du type , on admettra qu'il s'agit d'une équation d'onde de célérité valant ... Et ça c'est vraiment ENORME parce que du coup on va pouvoir trouver plein d'ondes de partout !

Bon c'est bien beau tout ça, mais il faudrait résoudre cette horreur maintenant (Halloween c'était hier pourtant ). Nous on sait pas faire donc on va admettre que la solution générale de l'équation est la fonction de deux variables . Bon mais ça représente quoi au juste ? Eh bien une onde qui se déplace vers la droite et une onde qui se déplace vers la gauche

Alors après pourquoi est-ce que tout d'un coup on a ce résultat avec deux ondes, là c'est un plus grand mystère Mais bon, l'essentiel c'est l'équation aux dérivées partielles et le fait qu'elle soit carctéristique des ondes. Mon hypothèse c'est que lorsqu'on n'a qu'une onde qui se déplace soit vers la droite soit vers la gauche, on considère que l'autre partie est nulle. Cette solution serait beaucoup plus générale que la définition précédente

Toutefois, il y a une application très intéressante de cette solution : le principe de superposition.
C'est fondamental et intuitif : deux ondes qui vont se rencontrer vont voir leurs amplitudes s'additionner ! Ce sont les fameuses interférences dont on parle tant en optique

Deux exemples : les interférences constructives et les interférences destructives.

Premier schéma à gauche : on a deux ondes dont les amplitudes sont toutes deux positives, l'une se dirige vers la droite et l'autre vers la gauche. Lorsqu'elles se rencontrent les amplitudes s'additionnent et on a une figure particulière qui est illustrée. La corde va plus se "soulever" que s'il n'y avait qu'une seule onde : ce sont les interféences constructives

Deuxième schéma à droite : on a deux ondes dont les amplitudes sont positive pour l'une et négative pour l'autre, l'une se dirige vers la droite et l'autre vers la gauche. Lorsqu'elles se rencontrent les amplitudes s'additionnent et on a une figure particulière qui est illustrée. Comme les amplitudes sont de signe opposés, la corde va avoir tendance à se rapprocher de sa position de repos, ce sont les interférences destructives

Dans les deux cas, après la rencontre les deux ondes continuent comme si rien ne s'était passé, ce n'était qu'un flirt d'un soir

Voilà, c'est terminé pour cette longue explication, j'espère quelle vous plaira autant que la première

Allez, un petit PS : vous avez vu, ces diapos expliquent certaines notions que vous abordé avant ! (Schrödinger, les interférences, etc.), et c'est bien normal car depuis le déébut de l'année on n'arrête pas de parler d'ondes sans même savoir ce que c'est ! Ce cours est clairement l'OVNI de cette PACES (mais il ne ressemble pas à ça dommage ), il devrait être fait en début d'année et se retrouve fin novembre... Bref la logique est obscure (certes il faut faire le cour sur la RMN juste après... On pourrait cependant faire la RMN pus tôt aussi, vce sont des notions assez bizarres et je pense que du temps est nécessaire pour mieux avaler la pilule ). Mais bon je n'ai pas mon mot à dire là-dedans donc

Et un deuxième pour la route : sur Arte ils ont réalisé une série de documentaires sur le physique quantique, il faudra que je regarde pour voir si ça peut vous être utile... Mais n'aalez pas regarder ça vous, ous ferez ça en Juillet quand vous aurez cartonné aux partiels (même si je crois que ce ne sera pas vers la physique quantique que se portera votre attention en premier ).

Bon bonne nuit les gens, et à bientôt, merci de votre présence sur le forum cette année, le forum de physique est animé c'est vraiment cool

[Aleeex]

Wouuaaah' ! (Bon, j'avoue qu'a presque 1 heure du mat', j'ai pas trop la foi de m'y pencher dessus tout de suite, mais demain matin j'vais kiffeeer !)

Merciiii Jipé !

[Jipé]

Жывая фізіка! (Biélorusse)

Žít fyziku! (Tchèque)

Žiť fyziku! (Slovaque)

(Traductions de "vive la physique", soumises à caution car obtenue avec Google )

[Aleeex]

благодаря ! (Ca c'est du bulgare )

C'est vraiment juste énorme ! J'ai galéré a comprendre, alors j'sais meme pas comment t'as fait pour l'expliquer !

Après les partiels j'me ferai des soirées Arte !