Tut 6 qcm 17 item C

[Toni Stonks]

Salut l’equipe. L’item C et sa correction sont identiques à savoir :

Item :

Si AB est inversible, on a (AB)^-1 = A^-1 x B^-1

Et la co :

Si AB est inversible, on a (AB)-1 = B-1A-1

les puissances se sont pas affichées mais présentes dans la co

Est ce vous pouvez m’éclairer dessus ?
Merci d’avance

[Sap1ens]

Salut Baptiste !

QRU 17 : Soient A et B, deux matrices carrées d’ordre n. Quelle est la proposition exacte parmi les suivantes ?
A) Le produit de A et B peut ne pas exister
B) Si AB = In, alors les matrices AB et BA commutent C) Si AB est inversible, on a (AB)^-1 = A^-1B^-1
D) Si A-1 existe, alors A et A-1 commutent toujours
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses

C) Faux : Si AB est inversible, on a (AB)^-1 = B^-1A^-1

L’item C et sa correction ne sont pas identiques. Pourquoi ?

Premier point

C’est une propriété qui n’est pas dans la fiche mais qu’on retrouve dans l’exercice 10 du diapo du prof.
Soient A et B deux matrices inversibles, AB inversible et (AB)^-1 = B^-1 x A^-1

Retiens ce qui est en rouge, mais au cas où tu te demandes pourquoi je te mets la preuve de ça (ça n’est pas à retenir) :

Capture d’écran 2022-10-31 à 09.26.11.png (10.84 Kio) Vu 143 fois

Donc AB est inversible d’inverse B^-1 x A^-1

Deuxième point

Là on pourrait se dire ça marche dans un sens alors pourquoi pas dans l’autre pourtant on a bien :

Capture d’écran 2022-10-31 à 09.05.31.png (9.26 Kio) Vu 143 fois

Il faut bien comprendre la notion de commutativité des matrices.

De base, quand tu calcules des produits, peu importe l'ordre ça donnera toujours le même résultat : 4x2 = 2x4 = 8. Or pour les matrices ça n’est pas toujours vérifié.
Ainsi quand tu as deux matrices A et B telles que AB = BA, on dit qu’elles commutent entre elles.

Ici tu as un énoncé peu précis qui présente deux matrices carrées d’ordre n, tu ne peux pas savoir si elles commutent ou non.

J’espère que c’est plus clair, sinon je peux reformuler, préciser. C’est un point à connaître puisque dans les exercices du prof.

Bonne semaine !

[Toni Stonks]

Salut Aymeric, merci pour la réponse c'est parfait merci