Equations différentielles: QRU4

[Windy]

Bonjour,
Pour le QRU 4 des équations différentielles (je met une capture en pièce jointe pour pas que vous ayez besoin de chercher), la solution est B mais je n'ai pas du tout compris la forme de l'équation ni pourquoi c'est b. Je suis allée revoir le cours, page 4 comme le dit la correction et même l'aide pour les équations différentielles mais je ne comprends rien du tout car rien n'a cette tête là... Je pourrais avoir une explication s'il vous plait?
Merci d'avance!!

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[Dulclaudiax]

Coucou !

Désolée de la réponse tardive, elle ne s'est jamais envoyée...

Je comprends tout à fait la difficulté de ce QRU, on va voir ça ensemble

On reprend notre équation différentiellle : y’ - y = (x+1) e^x

On commence par l’identifier : c’est une équa diff du premier ordre AVEC second membre, le second membre étant (x+1) e^x

On sait que pour une ED avec second membre, la solution générale est de la forme : solution de l’ED homogène + solution particulière.

La solution de notre ED homogène est tout simplement Ce^x.

Il faut maintenant trouver la solution particulière. Le but ici est de trouver une fonction y qui lorsqu’on va la replacer dans l’équation va nous donner ce second membre (x+1) e^x ! Autrement dit, on cherche y de telle sorte à ce que y’ - y soit égal à (x+1) e^x.

Etant donné que la fonction est dérivée, c’est très dur de trouver dès le départ la bonne fonction y… C’est pour ça que le prof va soit :

• Te proposer directement y
• Te donner directement la solution générale afin que tu vérifies si c’est la bonne

Dans ce QRU donc, tu as juste à chercher si (x²/2 + x + C)e^x est une solution qui vérifie ton équation !

1ère étape : on enlève les parenthèses pour y voir plus clair
Si on développe notre solution, on obtient x²/2 * e^x + xe^x + Ce^x
C’est super parce qu’on retrouve déjà Ce^x qui correspond à la solution de notre ED homogène !
Maintenant on cherche donc à savoir si x²/2 * e^x + xe^x, la présupposée solution particulière, résout notre équation !

2ème étape : tester la solution particulière y = x²/2 * e^x + xe^x
On a juste à remplacer y dans l’ED de départ à gauche pour voir si on obtient bien (x+1) e^x.
En gros, on calcule y’ - y avec y = (x²/2) * e^x + xe^x !

Pour cela, on doit au préalable dériver y.

On a un produit qui est (x²/2) * e^x. Pour le dériver on utilise la formule uv = u'v + uv' avec :

• u = x²/2 = 0,5x² (pour mieux dériver après)
• sa dérivée u' = 2 * 0,5 * x = x
• v = e^x
• sa dérivée v' = e^x

La dérivée de notre produit est donc x * e^x + (x²/2) * e^x
On a comme facteur commun e^x donc on peut écrire :
e^x(x + x²/2)

Il manque le xe^x qui est également un produit et qui, lorsqu'on le dérive, est égal à e^x + xe^x

La dérivée finale est donc égale à :
y' = e^x(x + x²/2) + e^x + xe^x = e^x(x + x²/2 + 1 + x) = e^x(2x + x²/2 + 1)

Maintenant qu'on a y et y', on les remplace dans l'équation de départ y' - y pour voir si on obtient le membre de droite (x+1) e^x.

y' - y = e^x(2x + x²/2 + 1) - (x²/2 * e^x + xe^x) = e^x(2x + x²/2 + 1) - e^x(x²/2 + x) = e^x(2x + x²/2 + 1 - x²/2 - x) = e^x(x +1)

On retrouve bien notre équation de départ y' - y = e^x(x +1) donc la solution de l'item B est bien juste ! C'est bien une solution de notre équation

Je t'avoue que c'est un calcul extrêmement long à faire, je ne pense pas que ça tombera le jour de l'examen (en tout cas je croise les doigts )

J'espère que c'est plus clair pour toi ! N'hésite surtout pas si tu veux une version rédigée sur papier !