loi exponentielle annales 2023

[anahita_fontanille]

bonjour !
concernant ce qcm :
QRU 25 : Concernant la loi exponentielle, quelle est la proposition exacte parmi les suivantes ?
A) L'espérance et la variance d'une variable aléatoire distribuée selon une loi exponentielle sont égales.
B) La fonction de densité est telle que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 0.
C) On ne peut pas déterminer une fonction de répartition pour la loi exponentielle.
D) On démontre que si un événement suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors le temps entre deux réalisations
consécutives de l'événement considéré est distribué selon une loi exponentielle de paramètre e-λ
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses

QRU 25 : B
A) Faux : μ = 1/𝜆 et 𝜎& = 1/𝜆&
B) Vrai :
C) Faux : On peut la déterminer
D) Faux : La formule de la loi exponentielle est 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒!"#
E) Faux

je ne comprends pas très bien pourquoi la B est comptée juste, la fonction de densité est pas sensée tendre vers 0 ?
merci beaucoup !

[Dulclaudiax]

Coucou !

Il me semble que ce QRU avait déjà posé problème les années précédentes donc je vais te donner la correction que je pense être la plus juste

Selon moi, la bonne réponse est : E

A) Faux : μ = 1/𝜆 et 𝜎² = 1/𝜆²

B) Faux : Pour répondre, voici les fonctions de densité et de répartion de la loi exponentielle (issues du diapo du prof)

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On s'intéresse à la fonction de densité donc la courbe de gauche. On se demande du coup si “ f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 0”

Il faut donc regarder :

• x sur l’axe des abscisses : on regarde quand ça tend vers 0 donc tout à gauche
• f(x) sur l’axe des ordonnées : on regarde quand ça tend vers +∞ donc aussi haut que possible
  Finalement, on regarde où se trouvent les différentes courbes de la loi exponentielle dans ces conditions.

Ce qu’on observe c’est qu’en effet, quand x = 0, les courbes tendent vers un certain maximum mais ce n’est PAS +∞ !

Si tu regardes bien, quand x = 0, chaque courbe tend vers la valeur du taux 𝜆 de la loi qu’elle illustre.

C’est pourquoi l’énoncé est faux selon moi.

Un énoncé juste aurait été : “ La fonction de densité est telle que f(x) tend vers 𝜆 lorsque x tend vers 0“

C) Faux : on peut la déterminer du coup (et c’est F(x) = 1 - e^-𝜆x)

D) Faux : je ne comprends pas le rapport entre l’item et la correction, mais selon moi c’est faux car le paramètre d’une loi exponentielle n’est pas e^-𝜆 mais bien 𝜆 (tout comme la loi de Poisson)

E) Vrai

Je reviens sur ta remarque comme quoi la fonction de densité tendrait vers 0.

C’est bien vrai, la fonction de densité f(x) d’une loi exponentielle tend bien vers 0, mais quand x tend vers +∞ (c’est-à-dire quand x est grand) !
Si tu regardes la courbe, tu vois que quand on va vers la droite sur l’axe des abscisses (+∞), la courbe se rapproche bien de plus en plus de l’axe, donc f(x) tend vers 0. C’est juste qu’ici on te demandait pour x = 0, pas x qui tend vers +∞.

Quand on est face à un item comme ça, il faut bien faire attention à ce qu’on regarde et ce qu’on nous demande :

• x c’est bien l’axe des abscisses
• f(x) (c’est-à-dire la fonction) c’est bien l’axe des ordonnées

Il ne faut pas se tromper sur qui tend vers quoi

J’espère que c’est plus clair pour toi ! N’hésite pas