DM annale variables aléatoires

[romanemrty]

Coucouuu je comprend pas trop pourquoi dans ce qcm on ne peut pas approximer par la loi de poisson. Je comprend bien qu'il faut respecter certaines règles comme n>50 ou le p<0.10 et le np<5 mais comment on peux distinguer un énoncé d'une loi de poisson a un énoncé de loi binomiale avec approximation d'une loi de poisson. En d'autres thermes j'aimerai savoir si pour pouvoir utiliser une loi de poisson il faut que ces trois conditions soient remplis.
Chat gpt dis qu'on peut utiliser l'approximation de la loi de poisson en loi binomiale dans ce qcm, mais du coup je sais pas ce que le prof en pense ?

QRU 23 (2017) : On s’intéresse à la conformité des proches de sang utilisées dans un hôpital. La probabilité
pour une poche d’être non-conforme est égale à 0,05. On contrôle la conformité d’un nombre de poches égal
à 300. La probabilité de n’avoir aucune poche non conforme parmi les 300 est égale à :
A) 0,95
B) 0,05300
C) e-15 (en faisant l’approximation par la loi de Poisson)
D) Les valeurs n = 300 et p = 0,05 ne permettent pas une approximation par la loi de Poisson
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses

Merci beaucoup!!!!

[Dulclaudiax]

Coucou !

Je comprends la difficulté des approximations, faut vraiment y penser...

Ici, sans faire d'approximation, on est bien dans la situation d'une loi binomiale : répétition d'épreuves indépendantes de Bernoulli (qui sont "prendre une poche de sang") avec deux issues (le succès --> "elle est non conforme" et l'échec --> "elle est conforme").

Quand tu es face à un très grand nombre d'essais (n = 300) et une petite probabilité (p = 0,05), tu peux déjà te douter que tu vas potentiellement approximer par une autre loi.

Ici, c'est une très bonne question que tu as posé car oui, il faut remplir TOUTES les conditions pour approximer une loi en une autre !
Certes, pour l'approximation en Poisson, n > 50, p ≤ 0,10, mais np = 300 * 0,05 = 15 ce qui est supérieur à 5 donc une condition n'est pas remplie ! On n'approxime donc PAS de binomiale en Poisson.

Par contre, pour l'approximation en loi normale, cette fois-ci TOUTES les conditions sont remplies ! np = 15 > 5 comme on l'a calculé, et tu sais que nq qui est égal à 300 * 0,95 sera forcément supérieur à 5 aussi car 0,95 est amplement supérieur à 0,05. On peut donc approximer cette loi binomiale en loi normale ! D'où la bonne réponse étant l'item D.

J'espère que c'est plus clair pour toi ! N'hésite pas