Matrice nilpotente

[MeiMei]

Coucouuu, j'ai pas bien compris le concept de matrice nilpotente, c'est possible de m'expliquer en détail svp ?

[Iwatarax]

saluuut alors je t'explique ça vite fait pour que tu puisses y voir plus clair

par définition, une matrice nilpotente A d'ordre n c'est une matrice carrée qui à la puissance n vaut 0 (A^n = 0), mais qui à la puissance n-1 est différente de 0 (A^(n-1) ≠ 0)

petit exemple, on a la matrice A ci-dessous :

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quand tu la mets à la puissance 2, tu te retrouves avec la matrice suivante, qui n'est pas égale à une matrice nulle (y a encore un 1, donc la matrice A n'est pas nilpotente d'ordre 2) :

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enfin, quand tu mets la matrice A à la puissance 3, tu te retrouves avec la matrice suivante, qui est égale à une matrice nulle (y a que des 0, donc la matrice A est nilpotente d'ordre 3) :

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c'est aussi simple que ça : vu que A^2 ≠ 0 et que A^3 = 0, on dit que la matrice A est nilpotente d'ordre 3