solution particulière ED2

[Jungulaire]

Salut !
Question bête peut être mais concernant les solutions des ED2, dans le cours c’est donné comme “ Solution générale = solution générale ED homogène + solution particulière“ mais c’est quoi cette solution particulière ? comme par exemple pour les ED1 c’est soit -b/a ou +b/a

Merci d’avance

[Dulclaudiax]

Coucou ! Désolée je te réponds un peu tard…

C‘est une très bonne question que tu poses parce qu’en effet on n’a pas étudié la solution particulière d’une ED2 avec second membre !

Sache tout d’abord que c’est du hors programme : le professeur ne l’aborde pas dans son cours et donc ne s’attend évidemment pas à ce que vous sachiez la retrouver.

Cependant, si jamais ça t’intéresse (mais du coup c’est vraiment pas à savoir pour l’examen ne t’inquiète pas ) : trouver la solution particulière d’une équation différentielle du second ordre avec second membre, c’est simplement trouver une fonction qui, quand tu la dérives et que tu la remplaces dans l’ED de départ, vérifie bien l’équation et te donne ce second membre à droite !

Pour cela on doit d’abord analyser ce second membre :

• Si par exemple notre ED est de la forme y’’ + 5y’ + 3y = 3x² - x
  Ici le second membre est 3x² - x : c’est un polynôme du second degré.
  Il faut donc résoudre cette équation de sorte à ce qu’on trouve une autre fonction qui vérifie notre équation différentielle ! Si tu veux savoir, dans ce cas-là, la solution sera également un polynôme du second degré de la forme y(x) = ax² + bx + c (où concrètement on cherche a, b et c).
  Je ne te détaille pas le calcul car c’est un peu trop lourd et surtout ça ne va pas te servir !
  
• Si par exemple notre ED est de la forme 2y’’ - y’ + y = e^2x
  Ici, le second membre est une exponentielle, c’est encore une technique de résolution différente : la solution va prendre la forme de y(x) = Ae^2x (où on cherche A).
  Encore une fois c’est pareil, il va falloir trouver une fonction qui « produit » le second membre et qui vérifie cette ED !
  
• Enfin, un cas plus simple, si notre second membre est une constante comme - 3y’’ + y’ = 5
  Alors tu essayes de résoudre l’équation en partant du principe que la solution, c’est cette constante. (Même si encore, il y a des exceptions… ça devient vite technique )

Comme tu vois, il existe une « recette » pour chaque type de fonction que prend ton second membre, c’est pour ça notamment que le prof n’en parle pas dans son cours.

Retiens donc que :

Solution générale d’une ED non homogène = solution générale de l’équation homogène + solution particulière de l’équation complète

Vous n’avez pas à savoir trouver de solutions particulières pour les ED2 non homogènes !

J’espère que c’est plus clair pour toi !