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par **LAMsa** » 29 Aoû 2015, 22:16

Bonsoir

!!

S'il vous plait, je ne comprends pas comment pouvons-nous déterminer la véracité de cet item (compté juste) :

Item A a écrit: $\forall n \in N^* , p \in N^* , p \le n :$
$A_p^n \le n^p$

Je ne vois vraiment pas comment comparer un factoriel et une puissance ainsi :silly:

Merci d'avance :worship:

par **Hamlet** » 30 Aoû 2015, 10:57

Bonjour LAMsa

Alors on va prouver cela en passant par un développement littéral :wink2:

.

On donne : $\forall n \in N^* , p \in N^* , p \le n$ , ce qui fait que la valeur minimale que p puisse prendre est 1 et sa valeur maximale est n.

Comparons $A^p_n$ pour $p_{minimal}=1$

1) $A^p_n = A^1_n$ $=$ $\frac{n!}{(n-1)!}$ $=$ $\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*1}{(n-1)*(n-2)*...*1}$ $=$ $n$

2) $n^p = n^1 = n$

Conclusion : Pour $p_{minimal} = 1$ , $A^p_n=n^p$

Comparons $A^p_n$ pour $p_{maximal}=n$

1) $A^p_n = A^n_n$ $=$ $\frac{n!}{(n-n)!}$ $=$ $\frac{n!}{0!}$ $=$ $n!$ car $0! = 1$ par convention $\rightarrow$ $n!$ : multiplication de n avec (n-1) facteurs inférieurs à n

2) $n^p = n^n$ $\rightarrow$ $n^n$ : multiplication de n avec (n-1) facteurs égaux à n

Conclusion : Pour $p_{maximal} = n$ , $A^p_n < n^p$

Conclusion générale : Pour $p \le n :$ avec $n \in N^* , p \in N^*$ , on vérifie $A^p_n \le n^p$

Ca te convient ?

Have a nice day :dance: