Annales 2023

[rania 06]

salut ce qcm de l exam de l annee derniere est compte juste pour la A et la B ... mais c est un qru donc on retient que c'est laquelle la bonne reponse ici svp ?

QRU 7 : Soit A une matrice carrée d’ordre n avec n≥10. Quelle est la proposition exacte parmi les suivantes ?

A) Si A est nilpotente alors nécessairement la puissance qui permet de conclure est inférieure ou égale à n
B) Il existe des matrices carrées non nilpotentes quel que soit l’ordre
C) Pour que A soit nilpotente il faut qu’elle soit symétrique
D) Toute matrice carrée est nilpotentes à un certain ordre
E) Les propositions A, B, C et D sont fausses

mercii

[Neuro'lina]

coucou !! on va voir ça ensemble !!

Pour l’ITEM A : Si A est nilpotente, alors nécessairement la puissance qui permet de conclure est inférieure ou égale à n

→ VRAIE

Explication :
• Une matrice A est nilpotente s’il existe un entier k tel que A^k = 0.
• Un théorème classique dit que si A est une matrice carrée d’ordre n, alors :
A^n = 0 ⇒ A est nilpotente,
et si A est nilpotente, alors A^n = 0 au plus.

Donc la puissance minimale k qui annule A vérifie :
→ 1 ≤ k ≤ n

Donc A est une proposition rigoureusement correcte.


Pour l’ITEM B : Il existe des matrices carrées non nilpotentes quel que soit l’ordre

→ VRAIE aussi, mais pas l’item le plus rigoureuse et spécifique par rapport à l’énoncé.
• Ex : la matrice identité Iₙ n’est jamais nilpotente (puisque I^k = I ≠ 0)
• Donc oui, des matrices non nilpotentes existent pour tout n ≥ 1
• MAIS cette proposition n’est pas spécifique à n ≥ 10, elle est triviale et générale

Même si A et B sont vraies, c’est un QRU, donc on coche la proposition qui semble la plus précise, rigoureuse, spécifique par rapport à l’énoncé (la meilleure, la plus informative).

J’aurai donc tendance à mettre la A pour cet item, même si toutefois l’item B reste juste aussi mais il est plus général que le A.
Je ne peux malheureusement pas t’aider plus que ça, j’espère avoir répondu de façon la plus claire à ta question !!
Bon courage pour l’examen !!