Bonjour,
Effectivement, cette partie du programme est assez complexe et il est quelque fois difficile de s'y retrouver dans tous ces types de dénombrements. Un petit exemple qu'on adapte à tous les dénombrements permet de mieux "visualiser" l'ensemble.
1) Les Arrangements sans remise :- Théorie : Soit un ensemble E de n éléments ...
Un arrangement sans remise est un tirage :
a) ordonné
b) sans remise
Ainsi, faire un Arrangement sans remise de n éléments pris p à p revient à prendre, les uns après les autres, sans les remettre après tirage, p éléments parmi les n éléments de E. On tiendra compte de l'ordre dans lequel ces p éléments ont été tirés : (dame, valet, roi ) =/= (roi,dame,valet) par exemple.
On dénombre ensuite le nombre de p-uplet ( ensembles de p éléments )formés selon la formule :
n! / (n-p)!- Exemple : Soit un jeu de 32 cartes
Tirer successivement 3 cartes, sans les remettre dans le paquet constitue un arrangement sans remise de 32 éléments pris 3 par 3, ou encore A(3,32). On dénombre ensuite le nombre de triplets de cartes qu'on pourrait obtenir après un tel tirage.
Il y a deux manière de voir les choses :
a) aspect formule :
A(3,32) = 32 ! / 29 ! = 32 x31 x30
b) aspect plus empirique :
on tire les cartes une par une sans le remettre -->
Pour la 1ère carte, il y a 32 possibilités
Pour la 2ème carte, il n'y a plus que 31 possibilités, car il y a une carte en moins dans le paquet de départ
Pour la 3ème cartes, il y a 30 possibilités
Ainsi, il y a ainsi, 32 x31 x30 triplets possibles2) Les Arrangements avec répétition :- Théorie : Soit un ensemble E de n éléments ...
Un arrangement avec répétition est un tirage :
a) ordonné
b) avec remise
Ainsi, faire un Arrangement avec répétition de n éléments revient à classer ces n éléments en p catégories avec p inférieur, égal ou supérieur à n. Ainsi, dans chacune des p catégories on pourra retrouver plusieurs éléments de E, do'ù le terme de à répétition.
On tiendra compte de l'ordre dans lequel ces éléments ont été classés dans les p catégories : (dame, valet, roi ) =/= (roi,dame,valet) par exemple.
On dénombre ensuite le nombre de classement en p catégories selon la formule :
A(p,n) = pn- Exemple : Soit un jeu de 32 cartes
Classer ces 32 cartes dans 3 paquets différents constitue un arrangement avec répétition de 32 éléments en 3 catégories, ou encore A(3,32). On dénombre ensuite le nombre de triplets de cartes qu'on pourrait obtenir après un tel tirage.
Il y a deux manière de voir les choses :
a) aspect formule :
A(3,32) = pn = 323
b) aspect plus empirique :
on tire les cartes une par une en les remettant à chaque fois dans le paquet -->
Pour la 1ère carte, il y a 3 possibilités ( car 3 paquets de cartes à former)
Pour la 2ème carte, il y a toujours 3 possibilités
...
Pour la 32ème carte, il y a 3 possibilités
Ainsi, il y a ainsi, 3 x3 x ... x3 (32 fois) = 332 classements possibles de 32 cartes en 3 paquets 3) Les p-listes avec remise :- Théorie : Soit un ensemble E de n éléments ...
Une p liste avec remise est un tirage :
a) ordonné
b) avec remise
Ainsi, faire un Arrangement sans remise de n éléments pris p à p revient à prendre, les uns après les autres, en les remettant après tirage, p éléments parmi les n éléments de E. Ainsi, on pourrait très bien obtenir le triplet (dame, dame, roi) ou (valet, valet,as) ...
On tiendra compte de l'ordre dans lequel ces p éléments ont été tirés : (dame, valet, roi ) =/= (roi,dame,valet) par exemple.
On dénombre ensuite le nombre de p-uplet ( ensembles de p éléments )formés selon la formule :
np- Exemple : Soit un jeu de 32 cartes
Tirer successivement 3 cartes, en les remettant après chaque tirage dans le paquet constitue un arrangement une p-liste ( = 3-liste = triplet ici) d'éléments de E avec remise. On dénombre ensuite le nombre de triplets de cartes qu'on pourrait obtenir après un tel tirage.
Il y a deux manière de voir les choses :
a) aspect formule :
A(3,32) = np = 323
b) aspect plus empirique :
on tire les cartes une par une sans le remettre -->
Pour la 1ère carte, il y a 32 possibilités
Pour la 2ème carte, il y a toujours 32 possibilités, car on a remis la première carte dans le paquet
Pour la 3ème cartes, il y a 32 possibilités
Ainsi, il y a ainsi, 32 x32 x32 = 323 triplets possiblesLa grande différence entre la p-liste et l'arrangement avec répétition se visualise bien grâce à l'exemple :
- arrangement avec répétition : on classe les 32 cartes dans 3 catégories
-
p liste avec remise : on tire successivement 3 cartes en remettant la carte dans le paquet après chaque tirage.
Voilà, si jamais vous avez d'autres questions ou que certains points sur ce post ne vous semblent pas encore tout à fait clair, n'hésitez à poser d'autres question
.
par Jeanne.r » 21 Aoû 2011, 16:57 
! Bisous
. Donc si j'ai bien compris un arrangement ça permet de voir les possibilité d'ordre qu'il y a dans un ou des groupes et la p liste ca permet de voir le nombre de groupes possibles, c'est bien ça ?
