Dénombrement

[Will]

Bonjour à tous, et oui après la lecture du 2ème poly de biostat je n'ai pas vraiment compris plusieurs choses

Dans quel cas utilise t-on les arrangements? les combinaisons? les factoriels?

[juju_06]

ah la fameuse question sur les dénombrements !

Il est toujours difficile au départ de savoir quand et comment utiliser les divers types de dénombrements. Normalement, cela dépend de la situation. Le mieux est d'avoir en tête quelques situations types en exemples et de raisonner par analogie. Sinon pour ceux qui n'arrivent vraiment pas à se faire une idée, à visualiser, dans un premier temps, on peut utiliser une classification plus arbitraire : tirage ordonné/non ordonné et avec/sans remise. a l'aide de ces deux caractéristiques qu'on peut retrouver facilement dans l'énoncé, on peut retrouver quel type de dénombrement utilisé.

Par exemple :
1) combinaison :
Exemple de combinaison : soit un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 3 cartes. Le nombre de mains différentes de 3 cartes possibles à l'issue du tirage est donnée par une combinaison de 3 parmi 32

c'est une situation où le tirage est :
- non ordonné --> As/Roi/dix = dix/Roi/As, c a d que l'ordre des cartes n'est pas important seules les cartes en elles même le sont
- sans remise --> on tire les 3 cartes sans remettre les cartes tirées précédemment

2) Arrangement :
Exemple d'arrangement : soit un jeu de 32 cartes, on tire successivement 3 cartes sans remise. Le nombre de mains différentes de 3 cartes possibles à l'issue du tirage est donnée par un arrangement de 3 parmi 32

C'est une situation où le tirage est :
- ordonné --> As/roi/dix =/= dix/roi/as =/= roi/dix/as ... l'ordre dans lequel on a tiré les cartes est important
- sans remise -> on tire les 3 cartes sans remettre les cartes tirées précédemment

3 ) les factorielles :
Les factorielles ne sont pas un dénombrement en soit mais un outil mathématique utilisé dans le calcul dans les dénombrements. Ainsi, elles apparaissent dans les formules des combinaisons et des dénombrements.

A = n! / (n-p)!
C = n! / (n-p)!p!

En espérant avoir clarifié un peu tout ça !

[Vincent B]

EDIT : DOUBLE COMBO LOL !!! 2 explications valent mieux qu'une

Salut!

Alors:

Les Arrangements :

On les utilise dans les cas de figure où :

- L'ordre a une importance
- On ne peut utiliser (ou tirer) 2 fois le même élément ( = sans remise) :

Exemple pour bien comprendre ce qu'on appelle par "Arrangement":

On dispose de 3 cartes : As, Roi , Dame. On tire SUCCESSIVEMENT ( ≠ simultanément !) 2 cartes sans remise.
Le nombre d’arrangements possibles (cad le nombre de couples de cartes possibles en tenant compte de l’ordre de tirage) est égal à :

A₃² = 3!/(3-2)! = (3×2×1)/1 = 6, soit (As,Roi) (As,Dame) (Roi, As) (Dame, As) (Dame, Roi) (Roi, Dame)


Les Combinaisons

On les utilise dans les cas de figure où :

- L'ordre a aucune importance ( comme au poker, il n'y a pas d'ordre dans les cartes tenues en main )
- On ne peut utiliser (ou tirer) 2 fois le même élément ( = sans remise)

Exemple:

Soit le même exemple que pour les arrangements de n éléments pris p à p : On dispose de 3 cartes : As, Roi, Dame.
On tire SIMULTANEMENT (≠ successivement !) 2 cartes sans remise. Le nombre de combinaisons possibles (cad le nombre de paires de cartes possibles en ne tenant pas compte de l’ordre de tirage) est égal à :

C₃² = 3!/2!(3-2)! = (3×2×1)/2 = 3, soit : (As,Roi) = (Roi, As), (As,Dame) = (Dame, As), (Dame, Roi) = (Roi, Dame)

Les Factoriels

Les factoriels ( ex : 4 ! ) sont une suite de multiplication, qui consiste à multiplier un nombre n par n-1, n-2, n-3, ... , jusqu'à 1.

Comme tu as pu le constater, ils sont utilisés pour déterminer les Arrangement, Combinaisons et autres.

Si besoin de plus d'explication, n'hésite pas.

[Will]

Merci à vous deux les super tuts
quant il y'a des remises on utilise quoi?

[BlackJesus]

Salut :

Alors quand tu as remise tu utilise le dénombrement p-list avec remise c'est la relation des applications de E dans F noté comme dans l'exemple " Dans un jeu de 32 cartes je tire au hasard 3 cartes en remettant a chaque fois la carte piochée dans le paquet , quel est l'univers associé a cette expérience ?"

C'est donc une appliation de 3 cartes tirées puis remise dans tes 32 cartes donc tu fais --> l'univers c'est donc car tu as trois fois le même univers puisqu tu repose a chaque fois et le nombre d'applications de E dans F c'est

Je crois que c'est le seul cas où tu as une remise

[Vincent B]

C'est bien ça!

Je précise simplement certaines définitions, toujours par rapport à cette expérience:

E = Ensemble des cartes pouvant être tirées.
E = { As de pique, Roi de pique, Dame de pique, .... , 7 de trèfle}.

Nota: {(As de pique)} par exemple est un "élément" de l'ensemble E.

Cardinal ( E ) = 32 (cartes)

L'Univers associé à cette expérience = Ω

Ω = E x E x E = E³
Ω = { As de pique, Roi de pique, Dame de pique, .... , 7 de trèfle} x { As de pique, Roi de pique, Dame de pique, .... , 7 de trèfle} x { As de pique, Roi de pique, Dame de pique, .... , 7 de trèfle}.

Nota: {(As de pique, 10 de carreau, valet de trèfle )} est un élément de l'Univers Ω

Le Cardinal de l'[u]Univers[/u] associé à cette expérience = Cardinal ( Ω ) = 32³

[Will]

Merci pour vos réponses

Une dernière question les arrangements avec répétition, page 37 du poly, je n'ai pas trop compris surtout l'exemple pourquoi utiliser ça ici?

[Vincent B]

Salut,

Pourrais tu, s'il te plait, nous préciser exactement ce que tu ne comprends pas dans les "Permutations avec répétition " et dans l'exemple , ça nous permettrait de répondre correctement à tes attentes. Merci.

[BlackJesus]

Dans l'exemple de l'étudiant avec les livres tu te dit que l'ordre des livres sur les étagères est important donc qu'il te faut un formule prenant en compte l'ordre , les deux formules qui s'utilise quand c'est "ordonnée" ce sont les arragements et les permutations , ici on te fait utiliser pour la premiére question les 14 livres tu prends donc les 14 livres parmis les 14 livres

Donc lors d'un arrangement tu arranges pour prendre qu'un certain nombre comme cela est le cas dans l'exemple : " Le bureau d'une assciation compote un présiden, un secrétaire, et un trésorier. L'association comporte 73 membes combien de bureaux différets peut-on faire" tu prend donc tous les arrangements de 3 personnes parmis les 73 donc c'est un arrangement de n élément pris p a p où n et p sont différent avec n=3 et p=73

Ici tu prends les 14 livres parmi les 14 livres donc n=p=14 en utilisant la formule des arrangements de n élement pris p a p (au cas ou tu ne te souviens pas des permutations qui est le cas particulier a utiliser quand n=p)

--> --> ( a savoir que 0!=1 ) tu tombes donc finalement sur 14! que tu aurais directement trouvé via la formule des permutations qui est


Pour les autres exemples c'est encore ordonnée en penant tous les lives mais tu prends matière par matière et tu les multiplie ensemble si tu ne comprend pas les deux autres je détaillerais

[Will]

Et bien l'exemple avec les espèces d'animaux qui rentrent. Les 10 animaux de divers espèces.

[BlackJesus]

Ensuite dans le cas de permutation avec répétition tu as n éléments qui peuvent se découper en sous partie (k) dans l'exemple des animaux n=10 avec une premiére espéce ou sous partie de n k1= 2 , puis k2=3 puis k3=5 tu vois bien que k1+k2+k3 = n mais il faut aussi que tu comprennes que dans la permutation avec répétition , puisqu'on parle de répétition dans chaque sous partie k les éléments sont identique , dans le cas des animaux tu as la même espéces avec l'ordre qui est important

[Will]

Ok merci donc l'ordre ici est important mais il y'a aussi répétition? désolé un peu de mal à comprendre les biostat

[BlackJesus]

C'est ca l'ordre est important car c'est une permutation et en plus c'est une permutation avec répétition car dedans tu as plusieurs élément identique dans chaque partie k de n élements de base

[Vincent B]

Bien répondu BlackJesus !

Les " Permutations avec répétitions " , et notamment la formule permettant de trouver le nombre de permutations, peuvent paraitre compliquées au premier abord. Il n'en est rien .

Comme l'a très bien dit BlackJesus, l'ordre est important !

Mais attention ! Dans le cas des Permutations avec répétition, on regarde l'ORDRE DES ESPECES et NON PAS L'ORDRE D'ARRIVEE DE CHAQUE ANIMAL, d'où l'utilisation du terme REPETITION puisqu'une espèce compte plusieurs animaux.

En effet, si on regarde l'ordre des espèce à l'arrivée au gîte, on peut considérer que les animaux d'une même espèce sont interchangeables sans que l'ordre d'arrivée soit modifié.

Voici un autre exemple détaillé, similaire à celui donné par le prof:

9 chevaux sont au départ d’une course hippique :
2 chevaux bleus (B1 et B2), 3 Rouges (R1, R2 et R3) et 4 Jaunes (J1, J2, J3 et J4).

Le nombre de classements possibles à l’arrivée en ne tenant compte que des catégories (cad : Rouge , Jaune ou Bleu ) est :

P₉ = = = 42 x 30 = 1260 classements possibles.

L’ordre au sein d’une même catégorie n’étant pas important :
(R1, B2, J3, J4, R3, B1, J2, R2, J1) = (R2, B1, J4, J1, R1, B2, J3, R3, J2) par exemple.

Nota:
n = Nombre total de chevaux au départ de la course.
Il y a 3 catégories de chevaux : Bleu, Rouge et Jaune.
k1 = nombre de chevaux bleus, k2 = nombre de chevaux Rouge, k3 = nombre de chevaux Jaunes.

Détaillons la formule: = n!/(k1!k2!k3!)

Au numérateur: n! = nombre de classements possibles ( = nombre de permutation) AVEC LES CHEVAUX PRIS INDIVIDUELLEMENT, sans distinction de catégorie. (dans ce cas (R1, B2, J3, J4, R3, B1, J2, R2, J1) ≠ (R2, B1, J4, J1, R1, B2, J3, R3, J2).

Au dénominateur: k1!k2!k3!

Puisqu'on cherche le classement par catégorie, et non le classement individuel, il faut déterminer le nombre de permutations possible au sein de chaque catégorie !
d'où:

Pour le nombre de permutation dans la catégorie Rouge : k2 = 3
(R1, R2, R3 ), (R1,R3,R2), (R2, R1, R3), (R2, R3, R1) , (R3, R1, R2) , (R3, R2, R1)
= 6 permutation
= 3! = 3 x 2 x 1

Idem pour la catégorie Bleu : k1 = 2
(B1,B2) , (B2, B1)
= 2 permutations
= 2! = 2 x 1

Idem pour la catégorie Jaune (là je ne détaille pas les 24 permutations ): k3 = 4
= 24 permutations
= 4! = 4 x 3 x 2 x 1

Mais ce n'est pas tout !! (Attention, là c'est plus compliqué)
Il faut également tenir compte des combinaisons possibles entre les permutations de chaque catégories, d'où :
k1! x k2! x k3! = 2! x 3! x 4! (1)

(1)Démonstration:
Pour illustrer cette notion , on prend 4 chevaux ( c'est plus simple à expliquer) 2 Rouges (R1 et R2 ) et 2 Bleus (B1 et B2):

Nombre de permutation pour la catégorie Rouge = 2! = (R1 , R2) (R2, R1)
Nombre de permutation pour la catégorie Bleu = 2! = (B1 , B2) (B2, B1)

Combinaisons entre ces permutations :

(R1 , R2) (B1 , B2) ( = (B1 , B2) (R1 , R2) puisqu'il s'agit d'une combinaison )

(R1 , R2) (B2, B1)

(R2, R1)(B1 , B2)

(R2, R1)(B2, B1)

Il y a donc 4 combinaisons possibles soit : 2! x 2!
Fin de la démonstration

[Will]

Merci pour cette belle démonstration ^^

[Will]

Une autre question,dans l'exemple du poly page 30 on nous dit le bureau d'une association comporte un président, un secrétaire et un trésorier. L'assoc comporte 73 membres. Combien de bureaux différents peut-on former?

Ils utilisent les arrangements, mais je verrais plus les combinaisons dans un cas comme ça non?

[BlackJesus]

Dans les arrangements l'ordre a une importance comparais aux combinaisons et dans cette exemple la l'ordre a une importance on doit former des arrangements de 3 personnes parmi 73

Ici tu utilise les arrangements car l’ordre a une importance donc pas de combinaison

[Will]

Merci Black Jesus

[juju_06]

Exact, Tout réside dans la bonne compréhension de l'énoncé et de chaque situation.

Par exemple, dans cet exercice : le bureau d'une association comporte un président, un secrétaire et un trésorier. L'assoc comporte 73 membres. Combien de bureaux différents peut-on former?

1) [/b]Il s'agit d'un dénombrement ordonné
En effet, ici, tu peux intuitivement instaurer un "[b]classement" dans les membres du bureau. Par exemple :
Le président est considéré comme étant le 1er, c'est la "place la plus convoitée"
Le secrétaire le 2ème
Le trésorier le 3ème

soit le triplet : (président, secrétaire, trésorier) , on aura :
(pierre, paul, jacques) =/= (jacques, paul, pierre) =/= (paul,pierre, jacques)

2) Il s'agit d'un dénombrement sans remise :
En effet, une personne ne peut pas cumuler les postes dans le bureau. Tu n'auras jamais par exemple : (paul,paul, jacques).

3) donc on utilise un arrangement :

A (3,73) = n! / (n-p)! = 73 ! / 70! = 73 x 72 x 71

Voilou ^^

[Will]

Merci beaucoup juju pour tes explications clair et limpide