Cours IV de Staccini , Loi de Bernoulli et ses amis

[BlackJesus]

Bonsoir :

Question un peu bête peut être mais je n'arrie pas a voir ce que représente k dans les formules de probabilité dans la loi de Bernoulli , binomial, de Poisson , géométrique et hypergéométrique dans toutes en gros ^^

Merci d'avance

[Vincent B]

Salut !

BERNOUILLI :

Pour BERNOUILLI, oublie le «k», il ne faut retenir que : p = P (X = 1) et q = P (X = 0 ) = 1 – p

Néanmoins, pour mieux comprendre :

BERNOUILLI c’est la réalisation d’UNE SEULE EXPERIENCE aléatoire ( = épreuve) dont la probabilité de réussite est « p ».

ex 1: Je lance une pièce de 1€. Soit « p »: probabilité que la pièce retombe sur « Face »= 0,5
ex 2 : Je lance un dé. Soit « p » : probabilité que le dé retombe sur « 6 » = 1/6

Loi de BERNOUILLI :

Probabilité (X = k) = p^k (1 – p)^1-k = p^k q^1-k

or l’expérience étant unique, X ne peut être egal qu’à : 1 (= succès) OU 0 (= échec)
donc « k » ϵ { 0 , 1 } c’est-à-dire k est égal soit à 1 soit à 0.

Exemple avec le lancer de dé : p = 1/6, q = 5/6

Probabilité (X = k = 1) = p¹ (1 – p)^1-1 = p¹ q⁰ = p¹= p = 1/6
Probabilité (X = k = 0) = p⁰ (1 – p)^1-0 = p⁰ q¹ = q¹ = q = 5/6

Avec :
p : probabilité d’un succès (= 1 )
q : probabilité d’un échec (= 0)
X : Variable aléatoire « Nombre de succès » lors d’une épreuve.


LOI BINOMIALE

k équivaut au nombre de succès parmi N épreuves successives et indépendantes

Pour mieux comprendre :

Il s’agit de plusieurs expériences aléatoires de BERNOULLI répétées successivement et indépendamment dont le résultat ne peut être que « succès » ou « échec ».
On cherche à connaitre la probabilité d’obtenir exactement un certain nombre de succès parmi ces expériences.

Loi BINOMIALE :

P (x = k ) = C_N^k p^k q^N-k =


Exemple : Je lance un dé 3 fois. Je cherche à connaitre la probabilité d’obtenir 2 succès, soit 2 « 6 » exactement lors de ces 3 lancers.

Soit la probabilité d’un succès : p = 1/6,
Soit la probabilité d’un échec : q = 5/6
Nombre de lancers : N = 3
Nombre de succès souhaités : x = k = 2 (x = k équivaut à k succès parmi N lancers)

Probabilité d’avoir le nombre de succès souhaités = p^k q^N-k
En effet, probabilité d’avoir 2 succès = p² q^3-2 = p² q¹ = 1/6 x 1/6 x 5/6

Cependant, l’ordre des « succès » n’est pas important ! Donc je peux avoir plusieurs Combinaisons de succès lors de cette expérience :

Combinaison 1 :1ER lancer = succès, 2ème lancer = succès, 3ème lancer = échec
Combinaison 2: 1ER lancer = succès, 2ème lancer = échec, 3ème lancer = succès
Combinaison 3: 1ER lancer = échec, 2ème lancer = succès, 3ème lancer = succès

Soit 3 Combinaisons ! C_N^k = C₃² = combinaisons

LOI DE POISSON

« k » est le nombre d’événements dont on cherche la probabilité de survenue compte tenu du paramètre moyen « λ »

La loi de POISSON est utilisée pour déterminer la probabilité qu’un certain nombre d’événements interviennent sur la base d’une unité de temps, de surface, de volume, etc…

Loi de Poisson :
P (X = k ) = λ^k e^{- λ}/k!

Exemple 1:

- Le nombre d’appels téléphoniques reçus par heure dans une centrale de télécommunication :

La loi de poisson pourra nous donner la probabilité de recevoir « X » appel en 1 h, sachant que la moyenne du nombre d’appel reçu par heure est de « λ ».

X = k: ( je veux savoir quelle est la probabilité d’obtenir k appel en une heure)
λ = 6 ( il y a en moyenne 6 appel par heure)

Pour k = 4 :

P (X = k = 4) = λ^k e^{- λ}/k ! = 6⁴ e^{- 6}/ 4 ! ( k est un entier naturel)

Pour k = 6 :

P (X = k = 6) = λ^k e^{- λ}/k ! = 6⁶ e^{- 6}/ 6 ! ( k est un entier naturel)

Pour k = 7 :

P (X = k = 7) = λ^k e^{- λ}/k ! = 6⁷ e^{- 6}/ 7 ! ( k est un entier naturel)

Exemple 2:

- Dans un service psychiatrique, le nombre de réactions allergiques par an consécutif à un traitement antidépresseur :

La loi de poisson pourra nous donner la probabilité de recenser « X » réaction allergique en un an, sachant que la probabilité pour un patient de faire une réaction allergique serait de « p », et le nombre de traitements administrés par an serait de « N ». On en déduit le nombre de réaction allergique moyen « λ » sur un an.

X = k (je veux connaître la probabilité de recenser « k » patient allergique en un an )
p = 1/1000 (il y a 1 risque sur 1000 que le patient fasse une réaction allergique)
N = 2000 ( 2000 patients sont traités chaque année dans ce service)
λ = N x p = 1/1000 x 2000 = 2 ( il y a en moyenne 2 patients déclarant une allergie par an dans ce service)

Pour k = 1 :

P (X = k = 1) = λ^k e^{- λ}/k ! = 2¹ e^{- 2}/ 1 ! ( k est un entier naturel)

Pour k = 1 :

P (X = k = 2) = λ^k e^{- λ}/k ! = 2² e^{- 2}/ 2 ! ( k est un entier naturel)

Pour k = 4 :

P (X = k = 4) = λ^k e^{- λ}/k ! = 2⁴ e^{- 2}/ 4 ! ( k est un entier naturel)


LOI GEOMETRIQUE :

k est le nombre d'essais réalisés au moment d'obtenir un premier "succès".

Cette loi est utilisée pour déterminer la probabilité d’obtenir un succès au bout d’un certain nombre d’essai.

Il s’agit, comme pour la loi Binomiale, d’une succession d’épreuve de Bernouilli.

Loi Géométrique :

P (X = k) = p (1 – p)^k-1 = p q^k-1 (k est un entier naturel)

p : Probabilité d'un succès
q : Probabilité d'un échec

Exemple 1:

Je lance une pièce, je souhaite connaitre la probabilité d’obtenir « face » au 4^e essai seulement (k = 4).

1^er essai : « Pile » = échec
2^èmeessai: « Pile »= échec
3^èmeessai: « Pile »= échec
4^èmeessai : « Face » = succès

p = probabilité d’obtenir « Face » soit un succès = 0,5.
q = probabilité d’obtenir « Pile » soit un échec 0,5.

P (X = k = 4) = p (1 – p)^k-1 = 0,5 x 0,5 ^4-1 = 0,5 x 0,5³

Exemple 2:

Je lance un dé. Je cherche à connaître la probabilité d’obtenir un « 3 » ou un « 6 » au bout de 3 lancers (k = 3).

1^er lancer : « 1 » = échec
2^ème lancer : « 4 » = échec
3^ème lancer: « 6 » = succès

p = probabilité d’obtenir {3 ;6} soit un succès = 1/3.
q = probabilité d’obtenir {1 ;2 ;4 ;5} soit un échec = 1 – Proba d’obtenir {3 ;6} = 2/3

P (X = k = 3) = p (1 – p)^k-1 = (1 / 3) x (2/3) ^3-1 = (1 / 3) x (2/3)²


LOI HYPERGEOMETRIQUE :

Soit une population de « N » individus dont un nombre « D » présente un caractère donné.
On utilise la loi HYPERGEOMETRIQUE lorsqu’on veut connaitre la probabilité d’obtenir « X » individus présentant ce caractère dans un échantillon de « n » individus, issu de la population « N ».

Particularités :

Les individus de l’échantillon « n » sont tirés successivement ou simultanément (la façon dont est constitué l’échantillon n’a pas d’importance), mais NE SONT PAS REMIS DANS LA POPULATION « N » après le tirage !

Il n’y a donc PAS DE REMISE, contrairement aux lois Binomiales et Géométrique, où chaque tirage (ou essai) est indépendant (= équivaut à une remise).

Paramètres :

N : Population d’individus à laquelle on s’intéresse
D : Nombre d’individus dans la population « N » qui ont un caractère particulier en commun.
n : Nombre d’individus de l’échantillon, issu de « N »
X = k : « k » est le nombre d’individus ayant le caractère particulier dans l’échantillon « n ». En toute logique, « k » ne peut être supérieur à « D » ET ne peut être supérieur à « n ».

Loi Hypergéométrique :

P (X = k) = C_D^k x C_N-D^n-k/C_Nⁿ

Exemple :

Une urne contient 100 boules : 90 sont blanches et 10 sont Rouges.
Je tire successivement (ou simultanément, peu importe) 5 boules au hasard sans les remettre.

Je souhaite connaître la probabilité d’obtenir :
1 boule Rouge (k = 1),
2 boules Rouges (k = 2),
5 boules Rouges (k = 5).

N = 100
D = 10
n = 5

k = 1 :

P (X = 1) = C₁₀¹ x C_100-10^5-1/C₁₀₀⁵ = C₁₀¹ x C₉₀⁴/C₁₀₀⁵

k = 2 :

P (X = 2) = C₁₀² x C_100-10^5-2/C₁₀₀⁵ = C₁₀² x C₉₀³/C₁₀₀⁵

k = 5 :

P (X = 5) = C₁₀⁵ x C_100-10^5-5/C₁₀₀⁵ = C₁₀⁵ x C₉₀⁰/C₁₀₀⁵


La formule en détail :

P (X = k) = C_D^k x C_N-D^n-k/C_Nⁿ

= "Nombre de Combinaisons de 2 boules Rouges et 3 boules blanches" / "Nombre de Combinaisons TOTAL de 5 boules".

= 45 x 117 480 / 75 287 520 Combinaisons de 5 boules

C_D^k : Permet de connaître le nombre de combinaisons possibles de « k » boules Rouges parmi l’ensemble (« D ») des boules rouges.
On ne s’occupe que des boules ayant le caractère particulier dans ce cas (la couleur Rouge).

Autrement dit :
- Si je donne un numéro à chacune de mes 10 boules rouges pour les distinguer : R1, R2, R3, …, R10
- Si « k » (nombre de boules rouges parmi les 5 boules tirées) = 2

Alors, lors du tirage de mes 5 boules, je peux tirer 2 boules Rouges qui pourront être :
(R1,R2) (= R2,R1 s’agissant de combinaisons, l’ordre de tirage n’a pas d’importance, comme au loto)
(R1,R3)
(R1,R10)
(…,…)
(R9,R10)

Au final, j’aurais donc : C₁₀²= 10 ! / (2! (10-2)) !
= 10 x 9 / (2 x 1)
= 90 / 2 = 45 Combinaisons de 2 boules rouges.

C_N-D^n-k: Même raisonnement que pour les boules Rouges !

Permet de connaître le nombre de combinaisons possibles de « n-k » boules Blanches parmi l’ensemble (« N-D ») des boules Blanches.
On ne s’occupe que des boules Blanches dans ce cas.

Autrement dit :
- Si je donne un numéro à chacune de mes 90 boules Blanches pour les distinguer : B1,B2, B3, …, B90
- Si « k » (nombre de boules rouges parmi les 5 boules tirées) = 2, alors, le nombre de boules blanches tirées = n - k = 3.

Lors du tirage de mes 5 boules, je peux tirer 3 boules Blanches qui pourront être :
(B1,B2,B3) (= B2,B1, B3, l’ordre de tirage n’a pas d’importance, comme au loto)
(B1,B2,B3)
(B1,B2,B4)
(B1,B2,B5)
(…,…)
(B88,B89,B90)

Au final j’aurais donc : C₉₀³ = 90 ! / (3! (90-3)) !
= 90 x 89 x 88 / (3 x 2 x 1)
= 117 480 Combinaisons de 3 boules blanches.

C_D^k x C_N-D^n-k: Il faut également tenir compte des Combinaisons possibles entre les Combinaisons de boules Rouge et les Combinaisons de boules Blanche.

Ex : (R1,R2) avec (B1,B2,B3) ( ce qui est semblable à: (R2,R1) avec (B2,B1,B3))
(R1,R4) avec (B1,B2,B55) etc…

J’ai donc maintenant l’ensemble des Combinaisons possibles de 2 boules Rouges et 3 boules blanches, soit 45 x 117 480 = 5 286 600 Combinaisons.

C_Nⁿ: Permet de connaître L’ENSEMBLE des combinaisons possibles de «n» boules (Indifféremment Blanches ET Rouges) parmi l’ensemble «N» de la POPULATION.
On s’occupe de TOUTES les boules sans tenir compte de leur couleur dans ce cas.

Autrement dit :
- Si je donne un numéro à chacune de mes 100 boules pour les distinguer : 1, 2, 3, 4, …, 100 .
- Si « n » (nombre de boules tirées parmi les 100) = 5.

Lors du tirage de mes 5 boules j’aurais les combinaisons suivantes :
(1,2,3,4,5) (= 2,4,3,1,5 l’ordre de tirage n’a pas d’importance, comme au loto)
(1,2,3,4,6)
(1,2,3,4,7)
(1,2,3,4,8)
(…,…)
(96,97,98,99,100)

Au final j’aurais donc : C₁₀₀⁵ = 100 ! / (5! (100-5)) !
= 100 x 99 x 98 x 97 x 96 / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)
= 75 287 520 Combinaisons de 5 boules.

[BlackJesus]

Merci pour ce super post je n'en demander pas autant mais en tous cas super boulot on comprend de mieux en mieux

Merci VincentB

Ps j'ai fais le chapitre III et IV si vous voulez je vous les envoies !

[BlackJesus]

Merci beaucoup pour ce post qui se transforme en un superbe fiche !

Je vais tous imprimer et me mettre tous bien en tête

[Will]

Une question sur les lois. Quant utiliser la binomiale et la géométrique? car les deux sont des répétitions de Bernouilli. Je comprends pas trop la différence entre ces deux lois et quant les appliquer?

[juju_06]

Loi binomiale et géométrique sont deux lois qui impliquent une répétition de Bernouilli mais pas avec la même finalité :

1) la loi Binomiale :
On répète l'expérience de Bernouilli (succès/échec) n fois. Les n essais réalisé sont fixés au début de l'épreuve. On comptabilise le nombre d'échec et de succès à la fin de l'épreuve (c a d des n essais).

Par exemple :
Soit une pièce, on considère que :
- face = succès
- pile = échec

On lance la pièce 5 fois (ce nombre de lancers étant fixé au préalable). On s'intéresse alors à la probabilité d'obtenir 2 succès (2 faces) au cours de ces 5 essais.

- n = 5
- k = 2
- p = 0,5 car on a 1 chance sur 2 d'obtenir face / pile lors d'un lancer de pièce

P (k=2) C(n,k) p^kq^(n-k)
= C(5,2) 0,5²0,5³
= 10 x 0,25 x 0,125 = 0,3125

J'ai 31,25% de chances d'obtenir 2 succès/faces à l'issue de mes 5 lancers .

2) la loi Géométrique :
On répète 'l'expérience de Bernouilli (succès/échec) jusqu'à obtenir UN succès. L'épreuve s'arrête dès l'obtention du premier succès. On comptabilise alors le nombre d'essais qui ont été nécessaires pour obtenir ce premier succès.

NB : le nombre d'essais n'est pas donc pas fixé au préalable.

Par exemple :
Soit une pièce, on considère que :
- face = succès
- pile = échec

On lance la pièce jusqu'à obtenir face (succès) pour la 1ère fois. On s'intéresse par exemple à la probabilité d'obtenir ce premier succès au 5ème lancer.

- p = 0,5
- k = 5

P ( k = 5) = p^kq^(k-1)
= 0,5⁵x 0,5⁴
= 0,03125 x 0,0625 = 0,0019

J'ai donc 0,19% de chances d'obtenir mon premier face au 5ème lancer.

[Will]

Merci Juju pour ta réponse clair précise et bien expliqué