Salut!
Oui un lysosome est bien un endosome mature. Grâce à l'activité de la V-ATPase, l'endosome va devenir de plus en plus acide et va être nommé au fur et à mesure de la baisse de pH endosome précoce, tardif puis lysosome.
Pour le phagosome c'est pas la même chose puisque qu'une fois le phagosome formé, il va directement fusionner avec un lysosome déjà mature qui va déverser son contenu (hydrolases) à l'intérieur (on obtient un phagolysosome)

(Lors de l'endocytose, l'endosome ne devient pas forcément un lysosome par maturation, il peut aussi directement fusionner avec un lysosome déjà mature comme le fait le phagosome)