Méthode pour trouver la solution d'une ED

[CassandrADN]

Coucou je galère avec les ED est-ce que ça serait possible de m'aider sur l'exercice numéro 8 sur le diapo du prof à l'item D où il faut trouver la solution de l'équation, est-ce que ce serait possible d'avoir les étapes du calcul ou bien la méthodologie pour les diférents cas si possible s'il vous plaît ?

merci d'avance

[MadMade]

Salut !

Pour les ED1 avec une fonction en second membre, il faudrait appliquer le théorème :

Solution générale de l'équation avec second membre = solution particulière + solution générale de l'équation homogène

En pratique comment trouver une solution particulière ? C'est très compliqué, donc on va un peu tricher. On ne va pas trouver la solution nous même mais on va vérifier si les propositions des différents items sont justes ou non.

Ici tu as comme équation y'-y = (x+1)e^x.
Une solution de l'équation homogène, c'est une solution de y'-y = 0 donc Ce^x

Pour une solution particulière, l'item D propose (x^2/2 + x)e^x
1. Tu dérives la solution : Ici tu as une multiplication de la forme u*v donc la dérivée est u'v + uv'. On pose x^2/2 + x = u et e^x = v
y' = (x + 1)*e^x + e^x*(x^2/2 + x)

2. Tu remplaces dans ton équation de base :

y'-y = (x + 1)*e^x + e^x*(x^2/2 + x) - (x^2/2 + x)e^x = x*e^x + e^x + x^2/2*e^x + x*e^x - x*e^x - x^2/2*e^x

3. Tu simplifies : y' - y = e^x + x*e^x = (1+x)e^x

On a donc prouver que l'item D est bien une solution de l'équation

Pour trouver la solution générale, tu additionnes la solution particulière qu'on vient de vérifier et une solution de l'équation homogène :
Solution générale : y(x) = (x^2/2 + x)e^x + Ce^x = (x^2/2 + x + C)e^x

Est-ce que c'est plus clair ?

[CassandrADN]

d'accord merci !