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par **Azula** » 24 Sep 2012, 13:42

Salut tout le monde

Je n'arrive pas à comprendre le phénomène de résonnance, il me semble que c'est lorsque la fréquence de "forçage" dans un régime entretenu est strictement égale à la fréquence propre de l'oscillateur, d'où une amplification.
En revanche, le graphique correspondant reste du chinois pour moi.
Si une âme charitable pouvait me traduire ce dernier :wink:

par **Jipé** » 24 Sep 2012, 14:28

Bonjour !

Alors c'est compliqué à expliquer, je ne te garantis pas une explication ultra claire mais je vais essayer

Lorsque la pulsation de l'oscillateur devient proche de la pulsation propre (càd $\frac{\omega}{\omega_0}\approx 1$ ), l'amplitude devient maximale : c'est le phénomène de résonance. Ce phénomène est d'autant plus marqué que l'amortissement est faible et donc que le facteur de qualité $Q=\frac{\omega_0}{\gamma}$ est grand.
En fait on considère qu'on a réellement un phénomène de résonance pour $Q>>1$ . L'amplitude est maximale dans ce qu'on appellle la bande passante du résonateur qui est l'intervalle $[\omega_0-\frac{\gamma}2 ; \omega_0+\frac{\gamma}2]$ .

Maintenant le graphique : on représente en abscisse le rapport $\frac{\omega}{\omega_0}$ . Lorsue celui-ci tend vers 1, on devrait donc observer un maximum d'amplitude. En ordonnées on indique le rapport $\frac{A}{A_s}$ .
Maintenant, les courbes : il y en a 2 qui correspondent à différentes valeurs du facteur de qualité. Pour $Q=2$ on voit qu'il ne se passe pas grand chose, on est trop proche de 1 et du coup le maximum ne se fait pas trop ressentir.

En revanche, pour la courbe correspondant à $Q=10$ , on observe bien aux alentours de $\frac{\omega}{\omega_0}=1$ un pic correspondant au phénomène de résonance. Que remarque-t-on de particulier sur cette courbe ?
Eh bien déjà son maximum est une valeur remarquable : $Q$ . Pourquoi cela ?
On sait que $\frac{A}{A_s}=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\omega^2\gamma^2}}$
En remplaçant $\omega$ par $\omega_0$ dans le cas de la résonance : $\fracA{A_s}=\frac{\omega_0^2}{\sqrt{0+\omega_0^2\gamma^2}}=\frac{\omega_0^2}{\omega_0\gamma}=Q$
Maintenant on a presque fini, mais quid de l'espèce de formule bizarre à côté du graphique ?
En fait on cherche à calculer la largeur relative de la bande passante par rapport à la pulsation propre.
Et on obtient $\frac{\Delta\omega}{\omega_0}=\frac{\frac{2\gamma}2}{\omega_0}=\frac{\gamma}{\omega_0}=\frac 1Q$
Càd que lorsque le facteur de qualité augmente, l'amplitude maximale augmente et la largeur de la bande passante diminue, d'où un "effet pic" d'autant plus important...

Voilà ce fut ardu mais je pense avoir expliqué quasiment tout le graphique

J'espère que ça t'aidera

Bonne journée !

par **Azula** » 24 Sep 2012, 14:48

Waouh Magnifique explication !

J'ai tout compris même qu'il n'y avait pas à comprendre :wink:

Merci Jipé !

par **Jipé** » 24 Sep 2012, 15:08

De rien

Maintenant juste un petit mot pour savoir quelles sont les conséquences de tout ça : en fait admettons qu'une force s'exerce sur un oscillateur harmonique amortie de telle sorte que la pulsation engendrée soit de l'ordre de la pulsation propre. Si le facteur de qualité est grand, on va avoir des oscillations de grande amplitude... qui en deviennent presque dangereuses !
Un exemple connu est le suivant : des soldats marchent en cadence sur un pont, mais le problème c'est que les vibrations engendrées par les pas des soldats sont proches de la pulsation propre du pont... Et du coup il entre en résonance, les oscillations ont une grande amplitude et le pont s'écroule ! (bon un pont en bois hein, sinon c'est un peu plus difficile :mrgreen: