Lien entre loi Poisson et loi Expo

[Alex06190]

Bonsoir,

Quand on utilise la loi expo pour determiner le temps entre 2 realisations d'un evenement qui suit une loi de poisson, dans la formule P(X=x)=lamba exp(-lambda*x), quelle valeur prend x ?? Question surement bete mais je bloque dessus tout betement ..

[Vava]

Coucou Alex!

Tout d'abord tu ne peux pas dire P(X=x) pour la loi exponentielle puisque X est une variable CONTINUE donc les valeurs sont comprises dans un intervalle INDENOMBRABLE. De cette manière, on ne va pas utiliser P(X=x) mais P(X>x) ou P(X<x).

Après la formule que tu utilises dans les calculs est celle de la fonction de répartition et non celle de la fonction de densité
Je te remets les deux formules

La fonction de répartiton est l'intégrale de celle de densité et c'est elle qu'on utilise dans les calculs (celle de répartiton). Ainsi il faut surtout retenir la deuxième formule.

Pour répondre à ta question de qu'est ce que x je vais te faire un exemple
On veut savoir qu'elle est la probabilité qu'un téléphone se casse avant 2 ans sachant que λ=5
Dans ce cas la on a l'événement X "casser son téléphone" et le x=2ans
Ainsi on cherche P(X<2)

Est-ce que c'est plus clair pour toi? N'hesite pas à me redemander si ce n'est pas le cas

[Alex06190]

Re, merci pour ta reponse mais c'est pas exactement ce que je demander
Ma question c'est par rapport au lien entre la loi poisson et la loi expo.
Quand on nous donne par exemple un énoncer du genre :

Les arrivées aux urgences d'un hopital suivent une loi poisson de parametre λ=5 (5 par heure).
Quel est le temps moyen entre 2 arrivées consecutives ?

Ici on doit utiliser la loi expo de parametre 1/λ, jusqu'a la je comprend. Mais du coup dans la formule de la loi expo, λ=1/5. Mais je ne comprend pas par quoi on remplace x du coup ?
Je doit surement m'embrouiller un peu etant donner que dans la loi expo x est une valeur continue et là quand on approximative on va obtenir une valeur discrete du coup je doit surement mal comprendre qqchose .. Reste a savoir quoi

[Pierroooo]

Coucou !

Ne te prends pas autant la tête, le prof ne te demandera jamais d'appliquer la loi exponentielle avec pour paramètre 1/λ

Retiens simplement que quand tu as une loi de Poisson, le temps moyen entre la réalisation de chaque évènement est de 1/λ, c'est aussi facile que ça !
Du coup, dans ton exemple, le temps moyen est de 1/λ = 1/5 = 0,2 heure, donc 12 minutes

Après pour satisfaire ta curiosité, dans la formule le petit x sera remplacé par la valeur que tu veux, parce que c'est la fonction f(x), donc la "densité de probabilité" pour x = 1, x = 2, x = 3 ... c'est comme les fonctions du lycée, par exemple f(x) = x² - 3 ln(x), ici le x est remplacé par la valeur que tu veux :p

De même pour la fonction de répartition, c'est la probabilité que X soit inférieur ou égal à x, et ce x c'est toi qui le fixe.

J'espère que c'est plus clair, si tu ne comprends pas c'est pas grave, l'important est de savoir que le temps moyen entre chaque évènement est de 1/λ

Bon après-midi !

[Alex06190]

D'accord super c'est bon c'est compris merci beaucoup !!